<H1H2,*>是群<G,*>的子群的充要条件为H1H2=H2H

设H1H2=H2H1，只需证对任意a,b属于<H1H2,*>有a*b^(-1)属于<H1H2,*>。
由<H1H2,*>定义知，存在a1,b1属于<H1,*>和a2,b2属于<H2,*>使a=a1a2,b=b1b2。
那么，b^(-1)=b2^(-1)*b1^(-1)，由于<H1,*>和<H2,*>都是子群，所以b1^(-1)属于<H1,*>，b2^(-1)属于<H2,*>。
这样的话，a*b^(-1)=a1*a2*b2^(-1)*b1^(-1)。由于a2和b2^(-1)都属于H2，所以a2*b2^(-1)也属于H2，记为c。又因为H1H2=H2H1，必存在e,f分别属于H2,H1，使a1*c=e*f，这样的话
a*b^(-1)
=a1*a2*b2^(-1)*b1^(-1)
=a1*c*b1^(-1)
=e*f*b1^(-1)
又因为f和b1^(-1)都属于H1，所以f*b1^(-1)属于H1，e属于H2，所以a*b^(-1)=e*f*b1^(-1)属于H2H1。又因为H1H2=H2H1，所以a*b^(-1)属于H1H2，所以<H1H2,*>是群<G,*>的子群。

设<H1H2,*>是群<G,*>的子群。设p=a*b为一个H2H1集合中的元素，a属于H2，b属于H1。这样的话，a^(-1)和b^(-1)也分别属于H2和H1，于是p^(-1)=b^(-1)*a^(-1)属于H1H2。又因为<H1H2,*>是群<G,*>的子群，所以p=(p^(-1))^(-1)也属于H1H2，于是H1H2包含H2H1。另一个方向的包含关系可以将上述推理反向而得到。结论就是H1H2=H2H1

证毕。

为书写方便令H1=H,H2=K
充分性：因为HK=KH，则hk(h1k1)^-1=h(kk1^-1h1^-1)=hh'k'属于HK，故HK是子群
必要性：因为HK是子群,所以(hk)^-1=k^-1h^-1属于KH，即HK包含于KH